Revisando el problema del ajedrez y el Gran Visir (II)

¿Por qué quiero revisar un problema matemático que ha sido analizado, re-analizado, expandido, meditado y descartado durante siglos?

El otro día escribí acerca del problema del ajedrez y el Gran Visir. Se basa en una antigua leyenda acerca del ajedrez y las matemáticas. Ha sido revisado muy exhaustivamente:

  • Como acertijo para chicos[1]
  • Como leyenda [2] [3] [4]
  • Como estrategia de negocios [5]
  • Como inspiración en la literatura y divulgación científica [6] [7]
  • y un larguísimo etcétera…

Así es como cada vez que enseño o escucho que alguien enseña acerca de los exponentes y sus matemáticas sale a cuento el visir. Siempre sale a cuento algún número impresionante y difícil de aprehender. A veces se habla de la importancia de entender el crecimiento exponencial.

Pero casi nunca se habla de llegar a una respuesta satisfactoria para uno mismo.


Hace muchos años en MetaFilter hubo una discusión buenísima acerca del excelente ensayo de Paul Lockhart «A Mathematician’s Lament» (PDF, 25 páginas). Aunque recomiendo ampliamente leer el ensayo, no es exactamente el tema que hoy quiero discutir.

En la discusión de MeFi, un alumno recién ingresado a la matemática universitaria comparte un problema que recibió en clases:

De todos los rectángulos con un perímetro fijo P, pruebe que un cuadrado tiene la mayor área.

Después de seguir la discusión se me ocurrió verificar si esto es cierto. Vaya, se supone que tengo un grado de ingeniería y, aunque no soy particularmente experto en cálculo quizá podría llegar a la prueba esperada.

Una hora y mucha álgebra después llegué a una conclusión mal formada, no a una prueba. Hasta el día de hoy me elude la prueba sin recurrir a libros de cálculo aunque estoy seguro que en cuanto lea el párrafo adecuado me daré de topes en la cabeza.

Sin embargo, mi fallido intento me llevó a una orilla desde la que puedo ver el cálculo en el horizonte, siento su presencia. Sé que si h_1 - \epsilon < h_1 necesariamente tenemos que (h_1 - \epsilon)^2 < h_1^2 pero que mi «prueba» es fácilmente derrotada con un contraejemplo trivial.

Pero he avanzado.


Una de las pocas cosas que he aprendido de unos cuantos lustros dedicados a las matemáticas y las ciencias es que aquello que se ve en los libros es apenas una herramienta. Conocer el Teorema del Valor Medio es un conocimiento muerto. Poco importa leer todo el libro de texto si no fructifica en algo más.

¿Qué es ese «algo más»? Creo que en general diría que son preguntas y respuestas satisfactorias, es decir, aquellas que te dicen algo más que la suma de sus partes. Las menciono por igual porque veo a las preguntas y respuestas como los desgastados dos lados de una misma moneda. Una es la semilla y otra es el fruto (no sé exactamente cuál es cuál) ya que una te motiva a comenzar y otra te motiva a terminar.

Buscar preguntas y respuestas satisfactorias para uno mismo, eso debería ser lo principal que hay que aprender en el salón de ciencias. Lo demás, anota Randall Munroe, es solamente llevar las cuentas.

«Unscientific» by Randall Munroe; xkcd.com/397; CC BY-NC 2.5

Yo conocía el problema del ajedrez y el Gran Visir desde hace décadas, pero no fue sino hasta hace muy poco (el fin de semana pasado) que se me ocurrió preguntarme a mí mismo «¿Y si en lugar de pensar en todo el tablero pensamos en cuánto se puede pagar con un saco de grano? ¿Cuánto de la deuda podría pagar el rey con uno de sus campos y un par de bueyes? ¿Qué pasa si ponemos un límite al número de granos?». Caí en la cuenta que, a pesar de saber «la respuesta» al problema, no podía responder ninguna de mis propias preguntas. Es decir, era una respuesta estéril que no producía más conocimiento.

Con unos datos en mano y café en mi taza me di a la tarea de ver cuánto de la deuda se podría pagar si ofreciéramos al Gran Visir la producción mundial de maíz durante todo un año.1 Parecerá tonto, pero la leyenda cobró un sentido diferente y renovado en mi cabeza. En lugar de preguntar el total de todo el tablero quise averiguar qué tan grande es la deuda al compararla con un número más o menos al alcance de mi entendimiento.2


Aprender es difícil, y más si lo hace uno por cuenta propia. Pero creo que si no nos damos la oportunidad de dar pasos (aunque sean pequeños y triviales como en mi caso) siempre habrá una parte del cerebro que se nos pudrirá cuando la escuela ya no es un requisito. Exhorto a quienes lean estas letras a intentar replantearse problemas (matemáticos o no) para los que crean que ya saben la solución. Espero que pueda llevarles por un camino fructífero como lo hizo conmigo.


«Unscientific» by Randall Munroe is licensed under CC BY-NC 2.5

Referencias

2. Pickover, C.A.: The math book: From pythagoras to the 57th dimension, 250 milestones in the history of mathematics. Sterling (2009)

3. Tahan, M.: The man who counted: A collection of mathematical adventures. W. W. Norton (2015)

4. Macdonell, A.A.: Art. XIII.The origin and early history of chess. Journal of the Royal Asiatic Society of Great Britain & Ireland. 30, 117–141 (1898). doi:10.1017/s0035869x00146246

5. Kurzweil, R.: The age of spiritual machines. Penguin Publishing Group (2000)

6. Sagan, C.: Billions & billions: Thoughts on life and death at the brink of the millennium. BALLANTINE BOOKS (1998)

7. Donella Meadows, J.R.: Limits to growth. Chelsea Green Publishing (2009)


  1. Spoiler: apenas el 0.02% del total. 
  2. Digo más o menos porque aún así no logro comprender la vastísima cantidad de maíz que producimos en todo el mundo. 

Autor: Andy

The internet's miniboss. I sing, write and edit Wikipedia

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