Revisando el problema del ajedrez y el Gran Visir (I)

Atención: contiene matemáticas hechas y re-hechas por miles de años.

Muchos conocemos esa leyenda del ajedrez, ¿no? Dice la leyenda que cuando un gran rey conoció el juego del ajedrez quedó inmensamente satisfecho y decidió recompensar a su creador, el Gran Visir. Este, siendo un hombre humilde, al principio rechazó toda recompensa, pero cuando el rey insistió, el Visir propuso una recompensa particular: un grano de trigo por el primer escaque, dos por el segundo, cuatro por el tercero y así sucesivamente hasta llenar todo el tablero, 64 escaques en total.

Siempre que se reproduce esta historia se pone un estimado de cuánto grano se necesita para pagarla al Visir,1 pero siempre se habla del total de granos, lo cual no siempre es fácil de visualizar, porque usualmente se habla de la producción total durante muchos años. Hoy prefiero estimar una pregunta relacionada:

Si el rey tuviera toda la producción de grano en un año, ¿cuánto podría pagar del total de la recompensa?


Aquí comienzan las matemáticas. Para un resumen ejecutivo, vayan al final del post.


¿Cuántos granos de maíz produce el mundo en un año?

Supongamos, por facilidad, que los granos son de maíz.

El tío Wolfram estima que en un año todo el mundo produce 1.038 mil millones de toneladas (métricas) de maíz. Si lo convertimos a gramos, tenemos que son:

1.038 \times 10^{9} \frac{ton}{yr} \left(10^6\frac{gr}{ton}\right) = 1.038 \times 10^{15} \frac{gr}{yr}

El Departamento de Agricultura de los EUA estima que una sola mazorca da aproximadamente 102 gramos de granos. Entonces, en un año se producen

\frac{1.038 \times 10^{15}}{102} \frac{gr * yr^{-1}}{gr * mazorca^{-1}} \approx 1.0176 \times 10^{13} \frac{mazorca}{yr}

Aquí es donde la puerca tuerce el rabo. No logro encontrar ninguna fuente autoritativa que diga un buen estimado de cuántos granos de maíz hay en una mazorca. Wikipedia cita un número, pero no tiene referencias. El usuario de Quora Darin Grimm estima que hay unos 700 granos por cada mazorca, asumiendo que son de buena calidad. Usando su estimación, tenemos que al año se producen:2

1.0176 \times 10^{13} \frac{mazorca}{yr} \left(700 \frac{granos}{mazorca}\right) \approx 7.1235 \times 10^{15} \frac{granos}{yr}

Es decir, se producen siete mil billones (~7,000,000,000,000,000 = 7\times 10^{15}) de granos de maíz al año34 ¿Cuánto de la deuda del Visir se puede pagar con esto?


¿Cuántos escaques podemos pagar?

Vamos por partes:

  • El primer escaque requiere 2^0 = 1 grano de maíz,
  • El segundo requiere 2^1 = 2 granos de maíz, 3 granos en total,
  • El tercero requiere 2^2 = 4 granos de maíz, 7 granos en total,
  • El n-ésimo escaque requiere 2^{n-1} granos de maíz.

Con un poco de sumas, podemos ver que el total de granos necesarios para pagar hasta el n-ésimo escaque es de 2^n - 1 granos. Con un poquito de Python podemos calcular cuál es el último escaque que podemos pagar:

n = 0
limit = 7e15
while 2**n < limit:
n += 1
print(n)

>>> 53

Es decir que nuestra lista leería:

  • (…)
  • El escaque 53 requiere 2^{52} = 4,503,599,627,370,496 granos, 2^{53} - 1 = 9,007,199,254,740,992 granos en total
  • (…)

En otras palabras, la producción mundial de maíz en un año apenas nos alcanza para pagar 52 escaques y parte del 53. Para pagar ese escaque hacen falta aproximadamente otros 100 días de producción promedio de maíz.


¿Cuánto falta para saldar la deuda?

A partir de aquí es donde comienzan los problemas. Con un año y fracción de producción de maíz logramos apenas pagar 53 escaques, pero aún faltan 11 más. Cada uno requiere el doble del anterior.

  • El escaque 53 requiere 2^0 \times ~1.28 años de producción de maíz,
  • El escaque 54 requiere 2^1 \times 1.28 \approx 2.57 años de producción de maíz,
  • El escaque 55 requiere 2^2 \times 1.28 \approx 5.14 años de producción de maíz,
  • El escaque 64 requiere 2^{12} \times 1.28 \approx 4096 \times 1.28 años de producción de maíz

Resultados finales

Resulta que si al Gran Visir le recompensamos con todo el maíz que produce el mundo en un año, a duras penas le hemos pagado \frac{1}{4096} \approx 0.0002 \approx 0.02 \% de su deuda. Según mi estimación, tardaríamos 4096 años en pagar por completo al Gran Visir usando la producción mundial de maíz.

Comentarios acerca de por qué decidí re-revisar este problema, en el siguiente post.


Honoré Daumier creator QS:P170,Q187506, «Les joueurs d’échecs», marcado como dominio público, para más detalles véase Wikimedia Commons


  1. Spoiler alert: Nunca es suficiente 
  2. Tomando en cuenta que Wikipedia cita ~800 granos por mazorca, quiere decir que al menos estamos en la escala correcta de estimación 
  3. Sí, uso la escala larga porque es «el estándar» en español. 
  4. Científicamente hablando, sería mejor decir que «se producen siete petagranos de maíz al año», pero creo que sólo haría más confusa la discusión. 

Autor: Andy

The internet's miniboss. I sing, write and edit Wikipedia

Un comentario en “Revisando el problema del ajedrez y el Gran Visir (I)”

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